環の公理から \( (-m)\times (-n) = m \times n \) を証明する．自分用のメモを公開しているというノリなので，説明が不十分な箇所があるかもしれないが，追記するかも知れないし，しないかも知れない．
環の公理
環の公理は以下である．
集合 \(R\) と \(R\) 上の二項演算 \( +\) および \( \times \) について，\( (R, {+}, {\times}) \) が環であるとは以下の (I), (II), (III) を満たすことである．
(I) \( (R, {+}) \) がアーベル群．
(II) \( (R, {\times}) \) がモノイド．
(III) 分配則が成り立つ．つまり，任意の \(m_{1}\), \(m_{2}\), \({m_{3}}\in {R}\) に対して，\begin{align*} {(m_{1}+m_{2})}\times {m_{3}} &= {({m_{1}} \times {m_{3}})} + {({m_{2}} \times {m_{3}})}, \\ {m_{1}} \times {(m_{2} + m_{3})} &= {({m_{1}} \times {m_{2}})} + {({m_{1}} \times {m_{3}})} \end{align*} が成り立つ．
以下，\( (R, {+}) \) の単位元を \(0\)，\( (R, {+}) \) における \(n\) の逆元を \(-n\)，\( (R, {\times}) \) の単位元を \(1\) と書く．また，適時誤解の生じない範囲で括弧は省略する．
いくつかの補題
いくつかの補題を示す．以下，環\( (R, {+}, {\times}) \)を固定．
Lemma 1 任意の \(n\in R\) について，
\( 0 \times n = 0\)，\( n \times 0 = 0\)．
Proof. \( 0 \times n = 0\) のみ示す．\begin{align*} 0 \times n &= (0 \times n) + 0 \\ &= (0 \times n) + (0 \times n) + (-(0 \times n) ) \\ &= ( (0+0) \times n)+ (-(0 \times n) ) \\ &= (0 \times n)+ (-(0 \times n) ) \\ &= 0 \text{．} \end{align*} \( n \times 0 = 0\) も同様に示せる．∎
Lemma 2 任意の \(n\in R\) について，
\( (-1) \times n = -n\)，\( n \times (-1) = -n\)．
Proof. \( (-1) \times n = -n\) のみ示す．\begin{align*} (-1) \times n &= ( (-1) \times n) + 0 \\ &= ( (-1) \times n) + n + (-n) \\ &= ( (-1) \times n)+ ( 1 \times n) + (-n) \\ &= ( ( (-1) + 1) \times n)+ (-n) \\ &= (0 \times n) + (-n) \\ &= 0 + (-n) \\ &= -n \text{．} \end{align*} \( n \times (-1) = -n\) も同様に示せる．∎
ここで，Lemma 2 からただちに \( (-1) \times n = n \times (-1) \) もわかる．
Lemma 3
\( (-1) \times (-1) = 1\)．
Proof. \begin{align*} (-1) \times (-1) &= ( (-1) \times (-1) ) + 0 \\ &= ( (-1) \times (-1) ) + (-1) + 1 \\ &= ( (-1) \times (-1) )+ ( 1 \times (-1) ) + 1 \\ &= ( ( (-1) + 1) \times (-1) )+ 1 \\ &= (0 \times (-1) ) + 1 \\ &= 0 + 1 \\ &= 1 \text{．}\end{align*}
以上より，\( (-1) \times (-1) = 1\)．∎
（マイナス）✕（マイナス）＝（プラス）
\( (-m)\times (-n) = m \times n \) を示す．
\begin{align*} (-m) \times (-n) &= ( (-1) \times m ) \times ( (-1) \times n ) \\ &= ( (-1) \times (-1) ) \times ( m \times n ) \\ &= 1 \times ( m \times n ) \\ &= m \times n \text{．}\end{align*}
おしまい．
