Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳

ブログは同人誌の一種だと思って書いてる.書きたいことを書いている.駄文注意.

論理学およびその周辺領域の本

以前,次のような記事を書いた.
sokrates7chaos.hatenablog.com

このブログのアクセス先の1割を占める程度には人気があるらしい*1.だが,書いてから時間が立ちすぎてしまい,また,その間にもさまざまな新しい本が出てきたこともあり,少し手直しをしたいと考えるようになってきた.そんなわけで,この記事はそのリバイバル版である.

リバイバルにあたって,まずリストの範囲を論理学とその周辺領域の本全体に拡大することにした.また,現在手に入りにくくなった本などはリストから外すことにした.この記事にあげる本は,何らかの形でわたし自身が手に取ったことのあるもの(読んだとは言っていない)に限定している.

すべての本に対してコメントをしきれていないので,周りからサボりを指摘されやすいように,公開しながら作業することにする.暫定でもコメントの終わった本には⛄をつけることにする(2022/08/07 追記).

一般書

この節では論理学の一般書を紹介する.
推論や根拠ある論証について扱う学問領域を論理学と言う.

かんどころシリーズのひとつ.このシリーズのコンセプトとして「入門書の入門」みたいなものを作りたいというものがあるらしい.まさにそんな感じの本である.
「これだけでは何かをやるには圧倒的に足りない.でも何を勉強したらよいかの道しるべにはなる」というのがざっと目を通した感想.詳しいことは他書に譲りまくっているので,この本だけ読んでもわからないことは多いと考えられる.漠然と「数理論理学」がやりたいと思う人が道しるべに読んで「ここを深く知りたい!」となった話題を参考文献で詳しくやるという使い方が最適解ではないか.

数学基礎論界隈のレジェンド竹内先生の集合論の入門書.最初の方は初学者にもわかりやすく丁寧に書いてくれている.が,最終章周辺は明らかにテンションの上がった竹内先生の高度な思考が垂れ流されているので,その辺りの話題を初学者は理解しようと思って読んではいけない.この章については完全にタイトル詐欺である.第4章まで読んで集合論に興味を持ったら, 集合論の入門書のどれかを一冊読んだほうが良い.

一般書のくくりにしたが,明らかに一般書の範疇を超えた内容を扱っている.どの層を想定して書いたのかよくわからない.ただし,この本をきっかけにコンピュータサイエンスの数学を始めた人間を何人か知っている.

ゲーデル不完全性定理の誤用についてまとめた本.読んでいておもしろかった記憶があるが,最後に読んだのがだいぶ前なので,何が書いてあったのか全然覚えていない.

形式論理学

この節では非形式論理学の本を紹介する.
現在,日本で単に「論理学」と言った場合,論理関係を記号化して考察する「形式論理学」を指す事が多い.しかし,形式化せずに論理関係,帰納的論証や論理的誤謬などを考察する分野も存在する.このような領域を形式論理学という.クリティカル・シンキングと呼ばれることもあるようである*2
形式論理学においては,形式論理学ではなかなか扱わない「帰納的推論」も取り上げられる.一般に科学における推論に興味のある方は非形式論理学を学んだほうが得るものは多いかもしれない.

最近出版された非形式論理学の和書.帰納的推論に対する記述が豊富である.
形式論理学に馴染みのないわたしにも読みやすく一ヶ月位で読めてしまった.ただし,一部演習問題で「あれ?」と思った箇所もあった*3.著者の独自用語などは断ってから使ってくれているので,おそらく誠実な方と考えられる.
推論に関わるためか,最後の節は統計の話をしている.だが,記述統計学の域は出ておらず,推計学や因果推論などの話はおまけ程度にしか出てこない.続刊が予定されいているそうなので,続刊で扱ってくれることを願っている*4

帰納的推論・アブダクション

この節では主に演繹以外の推論を主なテーマとする本を紹介する.
演繹以外の推論をすべて「帰納的推論」とまとめる立場と,(先の意味での)帰納的推論のうち「アブダクション」は他の推論方法と違うとして区別して,推論方法は「演繹・帰納アブダクション」の三種類であるとする立場(三分法)がある.この記事においては三分法の立場を取ることにする.

アブダクションとはアメリカの哲学者 Charles Sanders Peirce によって考案(発見?)された推論方法である.「最良な説明への推論」と呼ばれることもある.
この本は Peirce 研究で有名な米盛裕二氏によるアブダクションの解説書である.

数理論理学・数学基礎論

この節では数理論理学・数学基礎論の入門書を紹介する.
数理論理学とは,数学を使って形式化・記号化された論理・計算およびそれらと数学的構造との関係を調べる学問領域である.
数学基礎論の指す領域についてはいまいち曖昧なところがある.数学基礎論を数理論理学の異名として扱う人々もいる(実際,以下に紹介する本のいくつかはそのようなスタンスである)が,ここでは意味を広く取り,「数学基礎論とは数理論理学を含む数学の『基礎』について扱う学問領域」と扱うことにする.
いずれにせよ,数理論理学・数学基礎論の入門書は内容がかぶっていることも多いので,この節でまとめて扱うことにする.

わたしが最初に手に取った思い出深い数理論理学の本.自然演繹の完全性定理と一階述語論理のカット除去可能定理はこの本で最初に勉強した.
今読み返すと完全性定理の証明をするのに Henkin Theory を作っていないなど独特なところがある.

和書では1階述語論理の形式体系周りの話題が最も豊富な本.さまざまな形式証明体系に興味がある場合,この本が入門に良さそう.

薄い割に内容が濃いという評判の本.実際最初に読む本としては少し重たいかもしれない.数学的な部分については厳密に書かれている.
著者の林先生のサイトはこちら→林晋のサイト 八杉晋のサイト

数学基礎論の辞書.

数学基礎論の入門書.公理的集合論の入門書で有名な Kunen が著者.豚がハブられている ZFC の宇宙の絵が好き.

数学基礎論の教科書.不完全性定理などの算術についての話題と(二階算術の)逆数学についてとても詳しい.通しで読むべき本のような気がするが,わたしは辞書のように使うことが多い.

アメリカの標準的なLogicの教科書らしい.理屈はわからないが Kindle 版と日本語訳は原書の半分近くの値段になっている.

古い本.現在この本を読むくらいなら上の Enderton の本などを読んだほうが良いと思う.

不完全性定理

この項目では数理論理学の入門書で不完全性定理にフォーカスを当てている本を紹介する.

不完全性定理についての入門書.「(数学系のわたしが)哲学にも興味があるならこの本読んだほうが良い」と以前ある人に言われた.

古典論理

この節では非古典論理にフォーカスを当てている本を紹介する.

和書で関連性論理についてまとめてある本はこの本くらいではないか.

様相論理

この節では様相論理にフォーカスを当てている本を紹介する.

通称「様相論理の青い本」.様相論理以外のことも書いてあるのだが,なぜか「様相論理」の入門書として薦められがちなイメージがある.そのため,分類をここにした.
実のところ,様相論理の勉強に使ったことはなく,導出原理の勉強に使った.

通称「様相論理の魔術書」(おそらく,本のデザインのため).「様相論理の黒い本」とも呼ばれる. 数学基礎論サマースクール2015の講演内容をまとめた本.
様相論理でわからないことがあるととりあえず,この本の第一章に目を通す.
様相による真理論に入門するならこの本の第4章が良いと考えられる.

modal $\mu$ 計算に詳しい唯一の和書.日本において modal $\mu$ について学習するなら,まずこの本を読む必要がある時代が来るのではないか.

2015 年頃に様相論理の入門書として薦められたのだが,まだキチンと目を通していない().薦めてくれた S 先生,申し訳ない……

様相論理の辞書みたいな本.

証明論

この節では証明論が主なテーマの本を紹介する.

数学基礎論界隈のレジェンド竹内先生の証明論の本.竹内予想の萌芽が見て取れるらしいが,正直良くわからない.
今読むなら下の本のほうが良いと思う.

証明論の基本的なことがまとまっている本.

モデル理論

この節ではモデル理論が主なテーマの本を紹介する.と言いつつ,不勉強でこの分野についてわたしはほとんど知らない.

モデル理論の定評のある教科書らしい.

公理的集合論

この節では公理的集合論が主なテーマの本を紹介する.

通称「旧版 Kunen」の日本語訳.公理的集合論における強制法(Forcing)の入門書として有名.
下の「新版 Kunen」とは内容が違うらしい.記述集合論の人に言わせると「新版 Kunen には大事な話題が増えたのでとても良いのだが,旧版にしか載っていない大事なこともある」らしい.

通称「新版 Kunen」.上の「旧版 Kunen」とは内容が違うことに注意.言語が違うとはいえ,新板も旧版も読める日本人は恵まれているのかもしれない.

タイトルは圏論の教科書として有名な Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics, 5) (邦題 圏論の基礎)のパロディか?Categories for the Working Mathematician (Graduate Texts in Mathematics, 5) が通称 "CWM" なので,この本は "SWM" と呼ぶべきだろうか?
パラッと手に取って最初の方だけ読んだ感じは読みやすかった.

定理証明支援系・自動証明

この説では定理証明支援系・自動証明についての本を紹介する.

Boyer-Moore の自動証明器を下敷きにした J-Bob なる定理証明支援系についての本.Boyer-Moore の自動証明器は,帰納法を含む量化子なしの一階述語論理のための自動証明器で,Lisp を下敷きに実装されている. ACL2 は Boyer-Moore の自動証明器の後継の自動証明器であり,かつそれを記述する言語である*5.J-Bob は ACL2 と Scheme によって実装されており,読者はそのどちらかの実装を使って実際に動かしながらこの本を読むことになる.そのため,この本を読むにあたって,最低限 Lisp の CAR, CDR, CONS くらいの知識が要求される.
などといけしゃあしゃあと書いてみたが,自動証明器の研究の全体像がいまいちはっきりと私には見えていないので,この本が自動証明機の入門書として適切なのかどうかはよくわからない.ともかく,よく良書として挙げられる.
Amazon で品切れでも版元では十全にある場合が多いそうなので,この本については版元から直接手に入れたほうが良いかもしれない.https://www.lambdanote.com/products/littleprover

数学の哲学・論理学の哲学

この節では数学の哲学・論理学の哲学が主なテーマの本を紹介する.数学の哲学・論理学の哲学は論理学そのものではないが,周辺領域ではある.関心の多い人間も多いと考えられるため,ここに載せておく.
〇〇学の哲学というのは〇〇学に関する哲学的課題を扱う分野である*6.あくまでも哲学の領域の話であるので,〇〇学そのものと混同しないように注意してほしい.特に「数学の哲学」は伝統的に数学そのものと勘違いされやすく,いわゆるトンデモ屋が湧きやすい.数学徒の間で「哲学的話題」がタブーになる原因の一つがそういった人間たちなので,本当に勘弁してほしい.

「数学の哲学」の定評のある教科書らしい.本の構成は
第一部:数学の哲学で扱う問題と諸派の見解の簡単な要約
第二部:論理主義,形式主義直観主義(以上まとめてビッグスリー)以前の重要な数学の哲学に関する議論・立場の紹介(プラトンアリストテレス,カントおよびミル)
第三部:ビッグスリーの紹介(フレーゲラッセル,ネオ論理主義,ヒルベルト,カリー,ブラウアー,ハイティングおよびダメット)
第四部:ビッグスリー以後の重要な数学の哲学に関する議論・立場の紹介(自然主義,虚構主義,様相真理論,構造主義など)
となっている.各派について,その立場の考え方とその利点,欠点をそれぞれあげてくれている.ただし,ウィトゲンシュタインについてはそれほど取り上げてくれていないので,ウィトゲンシュタインに特に関心のある者は他の本を読む必要がある.

イアン・ハッキングおじさんの本.原題は "Why Is There Philosophy of Mathematics at All? " である.直訳すると『結局,なぜ数学の哲学(という分野)が存在するのか』だろうか.癖のある本なので,入門書として読まないほうが良いのは間違いない.

「論理学の哲学」の本.定評があるかどうかは知らない.今,読んでいる.

その他,論理学に関係はあるが分類に困った本

この節では,論理学に関係はあるが,分類に困ってしまった本を紹介する.

ゲーデルと20世紀の論理学(ロジック)〈1〉ゲーデルの20世紀ゲーデルと20世紀の論理学(ロジック)〈2〉完全性定理とモデル理論ゲーデルと20世紀の論理学 3 不完全性定理と算術の体系ゲーデルと20世紀の論理学 4 集合論とプラトニズム

通称四色ゲーデル.この記事の元記事では入門書に突っ込んでいたが,入門書にしては話題が広すぎるし,難しすぎるので,こっちに持ってきた.
長らく4巻が品切れだったが,最近再販された.

数理論理学周りの位相や束論の話をまとめた本.証明がとても読みづらく行間も広いので,ある程度数学ができて自力で行間を埋められる人のみが読める本と考えられる.

通称 SGL.幾何学と数理論理学における「層」という概念について述べているらしい.
圏論的論理学をやるにはこの本が現状必須らしい.

番外:読むべきではない本

この節では「論理学」の本ではあるが,読むことをとてもおすすめできない間違いの多い本をあげる.

明らかに必要最低限のことも理解できていないまま書いている. ベン図をわざわざ書いてストラクチャを定めず真偽を議論し始めた瞬間, この本をぶん投げた. 有名なサイエンスライターの本だが, こういう悪質な本を書くのはいかがなものかと思う. Kindle 版が出てしまったらしいので被害者が増えないことを祈る.

参考になるリンク

この記事と似たような試みをしているサイトを紹介する.

*1:そんなに人気がないということかもしれない.

*2:クリティカル・シンキングと名前のついた和本でまともな本をあまり見たことがないので,この名称を日本で使うのは避けた方が良いかもしれない.

*3:たとえば,野球の勝利条件として不戦勝が考慮されていないなど.

*4:因果推論を帰納的論理にカウントするのが適当かどうかはわたしの知識量では判断しかねる.

*5:たぶん,そういうことだと思う.

*6:「個別科学の哲学」とも総称される.が,「文学の哲学」など,通常は科学に分類されないような学問領域に関する哲学的課題を扱う分野もあるので「個別の学問領域の哲学」と総称するほうが良い気もする.