Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳

ブログは同人誌の一種だと思って書いてる.書きたいことを書いている.駄文注意.

群準同型が単射である条件のおはなし

群準同型の単射必要十分条件でおもしろいものを知ったので記す.

補題
\( A, B \) を群,\( f\colon A \to B \) を群準同型とする.
\( f^{-1}\left(1_{B} \right) = \{ 1_{A} \} \) ならば,\(f\) は単射

証明.
\(f\left( a_{0} \right) = f\left( a_{1} \right)\) を仮定する.
すると,
\[f\left( a_{0} \right) \left(f\left( a_{1} \right) \right)^{-1} = 1_{B} \]
である.\(f\) は群準同型なので
\[f\left( a_{0}a_{1}^{-1} \right) = 1_{B}. \]
\( f^{-1}\left(1_{B} \right) = \{ 1_{A} \} \) であるから,
\[a_{0}a_{1}^{-1}=1_{A}. \]
よって,\(a_{0}=a_{1}\).ゆえに \(f\) は単射である. \(\blacksquare\)

命題
\( A, B \) を群,\( f\colon A \to B \) を群準同型とする.
ある \(b\in B\) について,その\(f\) による引き戻しが一点集合ならば,\(f\) は単射

証明.
\( f^{-1}\left( b \right) = \{ a \} \) を仮定する.
\( a' \in f^{-1}\left( 1_{B} \right) \) と仮定する.
\begin{align*}
b &= f\left(a\right) \\
&= f\left(a\right) \cdot 1_{B} \\
&= f\left(a\right) \cdot f\left(a'\right) \\
&= f\left( aa' \right)
\end{align*}
よって,\(aa'\in f^{-1}\left( b \right)\). \( f^{-1}\left( b \right) = \{ a \} \) より,\(aa'=a. \) ゆえに\(a'=1_{A}.\)
以上より\( f^{-1}\left(1_{B} \right) = \{ 1_{A} \}. \) 補題より\(f\) は単射.\(\blacksquare\)