同じように自然数のペア全体の集合を適切な同値関係で割ることで整数全体の集合を構成してみよう(練習問題)
— 任意の理論は完全 (@7danmoroboshi) 2023年2月20日
という問題を出したので，それの想定回答をここに記す．
\(\newcommand{\mathnat}{\mathbb{N}}\)
\(\newcommand{\mathint}{\mathbb{Z}}\)
\(\newcommand{\mathpair}[2]{(#1, #2)}\)
問題
\((\mathnat, 0, s, +, \times)\) を自然数構造とする．
\(\mathnat\times\mathnat\) 上に同値類を入れることによって，整数全体の構造を持つ対象を構成せよ．
想定回答
\({\mathpair{a}{b}, \mathpair{c}{d}}\in {\mathnat\times\mathnat}\)に対して，\(\mathpair{a}{b}\sim\mathpair{c}{d}\) を \({a+d}={b+c}\) と定義すると \( \sim \)は \(\mathnat\times\mathnat\) 上の同値関係になる*1．
このとき
\begin{align*} \mathpair{a}{b}\hat{+}\mathpair{c}{d} &= \mathpair{a+c}{b+d} \\ \mathpair{a}{b}\hat{\times}\mathpair{c}{d} &= \mathpair{a \times c+b \times d}{a\times d + b\times c} \end{align*}
と定義すると，\( ({\mathnat\times \mathnat}/{\sim}, \hat{+}, \hat{\times})\) は整数構造を持っている．
想定回答の直観
\(\mathpair{a}{b}=a-b\) と思いたいが，同時に \(\mathpair{1}{2}=\mathpair{2}{3}\) などとしたい．こういう場合，適切な同値関係を考えて「商集合」を考えることで同一視をするのは定番である．今回は \(a-b=c-d\) のときに \(\mathpair{a}{b}=\mathpair{c}{d}\) としたいので，\(a+d=b+c\)という同値関係でもって割れば良い．
足し算と掛け算の定義は
\begin{align*} (a-b)+(c-d) &= (a+c) - (b+d) \\ (a-b)\times (c-d) &= (a \times c + b\times d) - (a \times d + b\times c)\end{align*}
としたいことを思い出せば定義できる．
別解の概略
符号付き整数型と同様にして，\(\mathpair{a}{b}\) を \(b\) が偶数のとき \(+a\)，\(b\) が奇数のとき \(-a\) となるように同値関係を定義するやり方もある．ただし，この場合，自然数の引き算*2が定義されている必要があると思われる（たぶん）．
