自然数の定義を淡々と述べるものです. 過度な期待はしないでください.
1. 構造としての自然数の定義
1.1. ペアノの公理（オリジナルとは異なる書き方をしている）
空でない集合 \( \mathbb{N} \) と単射写像 \( \mathop{s}: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) , ある \( 0 \in \mathbb{N} \) が次のI), II)を満たすとき \( \left(\mathbb{N}, \mathop{s}, 0 \right) \) を自然数と言う:
I) \( \mathop{s}\left( x \right) = 0 \) となるような \( x \in \mathbb{N} \) は存在しない;
II) \( \mathbb{N} \) の元 \(n\) についての(正しいとは限らない)性質 \( P\left( n \right) \) が次のi), ii)の性質を満たすとき, すべての \( \mathbb{N} \) の元 \(n\) について \( P\left( n \right) \) は成り立つ:
i) \( P \left( 0 \right)\) が成立する;
ii) \( P \left( n \right) \) が成立すると仮定したとき, \( P \left( \mathop{s}\left( n \right) \right) \) が成立することが示せる.
1.2. 帰納法を陽に出さずに
空でない集合 \( \mathbb{N} \) と単射写像 \( \mathop{s}: \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) , \( 0 \in \mathbb{N} \) が次のI), II)を満たすとき \( \left(\mathbb{N}, \mathop{s}, 0 \right) \) を自然数と言う:
I) \( 0 \not \in \mathop{s} \left(\mathbb{N}\right) \);
II) \( X \subset \mathbb{N} \)について, \( 0 \in X \)かつ\( \mathop{s} \left(X\right) \subset X \)ならば, \( X = \mathbb{N}\).
1.3. 2階述語言語を用いて
\( \mathcal{L}_2 =\left( 0, s, = \right) \)という2階述語言語に対して以下のような論理式の集合\( T \)を考える. \[ \forall x \forall y \left( sx = sy \to x = y \right) \] \[ \forall x \lnot \left( sx = 0 \right) \] \[ \forall X \left( 0 \in X \land \forall n \left( n \in X \to sn \in X \right) \to \forall n \left( n \in X \right) \right) \]
\( T \)のモデルを自然数という.
2. 1の自然数の定義を満たす具体的な自然数
当たり前ですが, ここから下で定義されるものは1の定義を満たしています.
1.1. 文字列
\( 0, s \)を文字とする.
I) 文字列"\(0\)"は自然数である.
II) 文字列"\(\mathbf{n}\)"が自然数であるとき, 文字列"\(s\mathbf{n}\)"は自然数である.
III) I), II)のようにして構成される文字列のみが自然数である.
1.2. 空集合からの構成
II) 集合\(n\)が自然数であるとき, 集合\(n \cup \left\{ n \right\}\)は自然数である.
III) I), II) のように構成される集合のみが自然数である.
1.3. 順序数として
最小の極限順序数を自然数という.
1.4. 自由モノイド (M 氏に教えてもらった)
\( \left\{ 1 \right\} \)を生成元とする自由モノイドを自然数と言う.
参考文献
[2] 田中一之他, 『ゲーデルと20世紀の論理学3』, 東京大学出版会
