Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳

思考の流し台. 駄文注意. 数学以外の話も多い.

#0は自然数

 えー, どうもこんばんは. ある日曜数学者です. 

 

 勢いで次のような企画に参加してしまいました. 

www.adventar.org

 

 主催の人とは全く知らない間柄でもないし, 簡単な文章で良いって書いてあるしなぁってんで, 勢いで参加ボタンを押しちまいました. いやぁ, 用事が長引いてこんな時間になっちった. 

(謎のテンション

 

 そんなわけで, この記事はそのイベント用の記事です. 他のイベント参加者の記事の内容と比べると急に軽い話題となりますが, 当日参加なので, 勘弁してください. 

 

 日曜数学者同士の茶飲み話のよくある話題として「0は自然数であるか否か」というものがあります. 

 高校数学の定義だと, 「自然数に0は含まない」となっていますが, 多くの数学書では「自然数に0を含む」となっています. これはどういうことでしょうか? 

 

  自然数に0は含まない」派の人々の主張は大まかには「歴史的に『自然数』はモノを数えるために作られた*1のだから, 『何もない』という0は自然数に含むべきではない」というものです. 

 

自然数に0は含む」派の人々は「そちらのほうが数学的に便利で, 自然だから(0がないと不便で気持ち悪い)」という主張をされている方が多いと思います. 

これは, 「空集合を使って0から自然数を構成する 」ことで, 「集合論の上で自然数論を展開できる」といったことや, 「0があると, 自然数はモノイドになる」ということなどがあるのでしょう. 私はこちらの派閥です. 

 

みなさんはどちら派でしょうか? 「こっちの派閥だけど, 違う理由だ」とか「ぶっちゃけどっちでも良い派」とかいろいろあるでしょうが, 茶飲み話の話題にでもなれば幸いです. 

 

 以上突貫工事の記事でした. 

 (ホントはこれらの派閥の比較検討をしたかったけれど, タイムオーバーなのでまたの機会に......

*1:実は 「歴史的に『自然数』はモノを数えるために作られた」という主張は半分正解で, 半分誤りです. 

 どうも近代以降ではそういった発想から「自然数」というものを使っていたようですが, 実は古代ギリシャでは「1」は「自然数」として扱われていなかったりします. 「1」はunit(単位)で「数」ではないということのようですね. 

 また, 「0」を考えることは「無限」を考えることにつながるので, そういった点でも「自然数」として扱うことは忌避されていたようです. 

 まぁ, でも「自然数』はモノを数えるためのもの」ということから, 0をはじくのはわかる気もします.