ある日, わたしが
「微分可能だけど導関数が不連続な関数を思いつかないよう(ノдヽ)」*1
と困っていたらある人が
「[1]のページに答えが書いてあるよ」
と教えてくれた.
そこに書かれている関数を眺めていたら\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数を思いついたのでここに記す.
定義1 (\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数)
\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} , n \in \mathbb{N} \)
\[ \mathop{f}{\left( x \right)} := \begin{cases} x^{2n} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0. \end{cases} \]
\(f\)が\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数である証明の概略
命題2 (\(f\)の\(m\)階導関数)
\[ \mathop{f^{\left( m \right)}}{\left( x \right)} := \begin{cases} \sum_{k=0}^{m} a_{\left( m , k \right)} x^{2n-m-k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x}, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0; \end{cases} \]
for \( m \in \mathbb{N} , 1 \leq m \leq n - 1\), \( a_{\left( 1 , 0 \right)} = 2n , a_{\left( 1 , 1 \right)} = 1, \) \(a_{\left( 1 , k \right)} = 0 \quad \left( 1< k \right), \) \( a_{\left( m , 0 \right)} = 2n \cdot \left( 2n - 1\right) \cdot \dots \cdot \left( 2n - m + 1 \right) \quad \left( 1 < m \right), \) \( a_{\left( m+1 , k \right)} = \left( 2n - m - k \right) a_{\left(m , k \right)} + (-1)^{k+1} a_{\left( m , k -1 \right)} \quad \left( 1 < k \right) , \)
\[ \mathop{\mathrm{CS}_{k}} {\left( x \right)} = \begin{cases} \sin x, & k\text{ is even}; \\ \cos x, & k\text{ is odd}. \end{cases} \]
(命題2の証明の概略)
\(x=0\)での微分可能性と\(\mathop{\mathrm{CS}_{k}}' {\left( x \right)} = \left( -1 \right)^{k} \mathop{\mathrm{CS}_{k+1}} {\left( x \right)}\)に注意して\(m\)についての帰納法. \(\square\)
系3 (\(f\)の\(n\)階導関数)
\[ \mathop{f^{\left( n \right)}}{\left( x \right)} := \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{n-k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x}, & x \neq 0; \\ 0, & x = 0; \end{cases} \]
where, for \( m \in \mathbb{N} , 1 \leq m \leq n - 1 \) and
\[ \mathop{\mathrm{CS}_{k}} {\left( x \right)} = \begin{cases} \sin x, & k\text{ is even}; \\ \cos x, & k\text{ is odd}; \end{cases} \] \( a_k \text{ is const.} \)
この\(f^{\left(n\right)} \left (x \right)\)は原点で不連続である. なぜなら, \( k < n \) のときは\[a_{k} x^{n-k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} \to 0 \qquad \text{as } x \to 0\]だが, \(k = n\) のとき \( a_{k} x^{n-k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} = a_{k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} \) は \(x\to 0\) で振動するから. \(\blacksquare\)
余談
1. 当たり前だが, この\(f \in C^{n-1}\)だが\(f \not \in C^{n}\)である.
2. \(f \in C^{n-1}\)だが\(f \not \in C^{n}\)であるような関数はこれ以外にも
\[ \mathop{g}{\left( x \right)} := \begin{cases} x^{n}, & 0 \leq x; \\ -x^{n}, & x < 0; \end{cases} \]
などがある. ただ, この関数の\(n\)階導関数はそもそも存在しない. \((n-1)\)階導関数 \(g^{\left( n-1 \right)} \left( x \right)= n!\left| x\right|\) は連続だが \( x = 0 \) で微分不可能だからである.
