Sokratesさんの備忘録ないし雑記帳

思考の流し台. 駄文注意.

n回微分可能だがn階導関数が不連続になる関数

 ある日, わたしが

微分可能だけど導関数が不連続な関数を思いつかないよう(ノдヽ)*1

と困っていたらある人が

[1]のページに答えが書いてあるよ」

と教えてくれた.

 そこに書かれている関数を眺めていたら\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数を思いついたのでここに記す. 

 

定義1 (\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数)

\(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} , n \in \mathbb{N} \)

\[ \mathop{f}{\left( x \right)} := \begin{cases} x^{2n} \sin \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

\(f\)が\(n\)回微分可能だが\(n\)階導関数が不連続になる関数である証明の概略

命題2 (\(f\)の\(m\)階導関数)

\[ \mathop{f^{\left( m \right)}}{\left( x \right)} := \begin{cases} \sum_{k=0}^{m} a_{\left( m , k \right)} x^{2n-m-k}  \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

where

\( m \in \mathbb{N} , 1 \leq m \leq n - 1\)

\( a_{\left( 1 , 0 \right)} = 2n , a_{\left( 1 , 1 \right)} = 1,  \)

\(a_{\left( 1 , k \right)} = 0 \quad \left( 1< k \right), \)

\( a_{\left( m , 0 \right)} = 2n \cdot \left( 2n - 1\right) \cdot \dots \cdot \left( 2n - m + 1 \right) \quad \left( 1 < m \right), \)

\( a_{\left( m+1 , k \right)} = \left( 2n - m - k \right) a_{\left(m , k \right)} + (-1)^{k+1} a_{\left( m , k -1 \right)} \quad \left( 1 < k \right) , \)

\[ \mathop{\mathrm{CS}_{k}} {\left(  x \right)} = \begin{cases} \sin x & k\text{:even} \\ \cos x & k\text{:odd} \end{cases} \]. 

 
(命題2の証明の概略)

\(x=0\)での微分可能性と\(\mathop{\mathrm{CS}_{k}}' {\left( x \right)} = \left( -1 \right)^{k} \mathop{\mathrm{CS}_{k+1}} {\left( x \right)}\)に注意して\(m\)についての帰納法. \(\square\)

 

系3 (\(f\)の\(n\)階導関数)

\[ \mathop{f^{\left( n \right)}}{\left( x \right)} := \begin{cases} \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{n-k}  \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} & x \neq 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} \]

where

\( m \in \mathbb{N} , 1 \leq m \leq n - 1 , \)

\[ \mathop{\mathrm{CS}_{k}} {\left(  x \right)} = \begin{cases} \sin x & k\text{:even} \\ \cos x & k\text{:odd} \end{cases} \], \( a_k \text{:const.} \)  

この\(f^{\left(n\right)} \left (x \right)\)は原点で不連続である. なぜなら, \( k < n \) のときは\[a_{k} x^{n-k}  \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} \to 0 \qquad \text{as } x \to 0\]だが,  \(k = n\) のとき \( a_{k} x^{n-k}  \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} = a_{k} \mathop{\mathrm{CS}_{k}} \frac{1}{x} \) は \(x\to 0\) で振動するから. \(\blacksquare\)

余談

1. 当たり前だが, この\(f \in C^{n-1}\)だが\(f \not \in C^{n}\)である. 

2. \(f \in C^{n-1}\)だが\(f \not \in C^{n}\)であるような関数はこれ以外にも

\[ \mathop{g}{\left( x \right)} := \begin{cases} x^{n} & 0 \leq x \\ -x^{n} & x < 0  \end{cases} \]

などがある. ただ, この関数の\(n\)階導関数はそもそも存在しない. \((n-1)\)階導関数 \(g^{\left( n-1 \right)} \left( x \right)=\left| x\right|\) は連続だが \( x = 0 \) で微分不可能だからである.

参考文献

 [1]  https://mathtrain.jp/c1kyukansu

*1:つまり微分可能だが \(C^1\) 級ではない関数が思いつかないと悩んでいた.