だいぶ前にTwitterで「人生で一度は証明を追いたい定理」とかいう話題が盛り上がっていた. もとツイートを探そうかお思ったんだが, 見つからなかった(←探し方が悪い)ので誰が言い始めたのかはわからないのだが, 「なるほど, 確かにそういう定理・命題・補題はいくつかあるな」と思ったのを覚えている.
ふと, そういうものをまとめてみようかという気分になったので, ここに一覧を晒すことにした. これは自分のモチベーション維持*1と「この命題の証明もかっこいいで」という情報が入ってくることを期待してのものである. 難易度がバラバラだったり分野に偏りがあるがご容赦願おう. どうせこの後どんどん増えていくし.
整数論
・Fermatの最終定理
どうあがいても追いたい証明一位だった. ここが原点の数学徒は多いのでは.
・Gelfond-Schneider の定理
超越数論の一里塚のはず. 超越数論でとてもでかい結果と聞いているので興味はある.
Logic
・Gödelの不完全性定理(特に第二の方)
概略を追ったことはあるはず(ホントに追えてたかも怪しい)だが, やっぱりよくわかっていないのでもう一度追いたい. 主張はよく使うのにね.
・Presburger arithmetic が否定完全であること
これも結果はよく使うのに証明をよく知らない. Quantifier freeの形に変形するらしいのだがよくわかっとらん.
・Lindstrom Theorem
最近知った定理で一階述語論理は「コンパクト性定理」と「Löwenheim–Skolem theorem」で特徴づけられるというものらしい. すさまじくきれいな定理である.
・Getzen の算術の無矛盾性証明
Set Theory
・ZFCと連続体仮説(CH)の独立性.
Forcing わかりません案件.
(9/20追記) ZFが無矛盾であれば、ZFC+CH が無矛盾であることの方は某夏の学校である程度理解できた(と思う)。やはりForcing が全くわからない。(追記終わり)
・ZFのモデルで\(\mathbb{R}\)の任意の部分集合が Lebesgue 可測であるものが存在する.
・Diaconescu's theorem
Category Theory
・米田の補題
追ったんだよ, 一回. でも理解できてない感がすごいし, 定理の主張の内容も明らかによくわかってない. 圏論力を高めて再チャレンジしたい.
*1:「えー, まだこの証明追っていないのぉ」という数学徒からの煽りとも言う. あまり言われると心折れるのでほどほどにネ.
