夏休みだ. 読書感想文だ! 小中高生向け数学書紹介だ!!

 世間ではそろそろ夏休みのようです. 私はむしろこの時期がもっとも忙しかったりするので, 夏休みは苦しい季節だったりします.......

 さて, そろそろ小中高生が読書感想文などに悩み始める時期かなぁ, ということでそんな子供たちのための数学書を並べてみようと思います. 読書感想文に悩んでいる理系っ子よ, 頑張れ! 

 今回は次のような基準で本を選びました. 

1. 小学生, 中学生, 高校生が読んで(たぶん)わかりそうなもの. 

2. 自分が読んだことのあるもの(またはそのリメイク, 再販)

3. マンガではない本(現状, マンガを学校の宿題に採用することを渋る教師が多いことを鑑みて......)

 それじゃあ, 張り切っていきましょう! 

(疲れすぎてテンションがおかしい.

【小学生～中学生くらい向け】

数の悪魔―算数・数学が楽しくなる12夜

  子供のころに読んで楽しかった本です. 確か小学生のときに通っていた塾の本棚に紛れ込んでいたのを貸してもらって読んだのがファーストコンタクトです. この本と同じくらいの時期に父が買ってきたマンガ おはなし数学史―これなら読める!これならわかる! (ブルーバックス)*1の2冊が自分の数学好きの原点かもしれません. 

 赤い悪魔に導かれて, ロバート君が数学の世界を探検する話です. 

 登場する用語が独特で, ルートを「大根を抜く」と表現していたりします. 何となくですが「点の代わりに椅子, 直線の代わりに机, 球面の代わりにビールと呼ぶことにしても幾何学はできる」と宣言したヒルベルトの形式主義のにおいを感じます(知ったかぶり). 

 用語はともかく内容の一部は高校以上のことに触れていたりしますね. なぜか \(1+1=2\) のラッセルの証明(を試みた跡)が載っているし......

 実家を出るときに父にねだって買ってもらったモノを売ってしまったのですが, 数年前, 本屋で見かけて懐かしくなりつい自分のお給料で買ってしまいました. 

【中学生向け】

はじめまして数学 リメイク

 この本のリメイク前の本を全巻中学生の時に読みました. 当時は寝る間も惜しんで夢中になって読んだ記憶があります. 

 数の直感的「イメージ」から始まり, 記数法などの話やベクトルを使った足し算引き算のイメージの話, 虚数の話などをへて可算濃度の話にたどり着きます. 

 一部表現に誤解を招きそうだと感じる箇所がいくつかありますが, そういった箇所を自分で探すのも勉強かもしれません. 

【中学生～高校生向け】

フェルマーの最終定理 (新潮文庫)

  言わずと知れたサイモン・シンの名著ですね. ちょっとページ数が多いので読むのが大変ですが, 読書感想文の題材としては良いかも. 

 幾人もの数学者を歴史の闇に葬ると共に数学の歴史を大きく動かしたフェルマー予想が解かれるまでの過程を書いた本です. 

 同じ作者の次のシリーズも読書感想文の題材としては良いかもしれません. 

 こちらは我々の生活を支える「暗号」の話です. 

暗号解読〈上〉 (新潮文庫)

暗号解読 下巻 (新潮文庫 シ 37-3)

【中学生～高校生向け】*2

文庫　放浪の天才数学者エルデシュ (草思社文庫)

放浪の天才数学者エルデシュ

ガロア―天才数学者の生涯 (中公新書)

ビューティフル・マインド: 天才数学者の絶望と奇跡 (新潮文庫)

 数学者の伝記シリーズ. このあたりしかぱっと思いつかなかったけれど他にもたくさんありそうです.  これらも読書感想文にぴったりです. 

 ただ, ガロア周辺の伝記シリーズは注意深く選んだ方が良いです. 悪名高い数学をつくった人びと (ハヤカワ文庫NF―数理を愉しむシリーズ)のシリーズの誤った記述を真に受けて書かれた本も多いからです. 

 特にコーシーがガロアを評価していなかったという記述がある本は間違いなく誤りです. コーシーがガロアを高く評価していたという記述のある手紙が発見されていますので......

【高校生向け】

数学ガール (数学ガールシリーズ 1)

 高校生, 読書感想文あるのかなとも思うのですが, 一応.

 結城先生の有名な本ですね. いまだに続編が書かれているのでやはり人気があるのでしょう. 個人的には一番最初の巻が読んでいて一番面白かったです. 

 内容は主人公の「ぼく」が「ミルカさん」という美人天才女子高生と「テトラちゃん」というかわいい後輩といちゃいちゃしながら数学をする話です(我ながら身もふたもない説明. 結城先生ごめんなさい......). 

 たまにこのストーリーが邪魔になる程度に「数学」の部分は結構しっかりしています. 

【高校生向け】

オイラーの贈物―人類の至宝eiπ=-1を学ぶ

 みんな大好きオイラーの公式[e^{i heta}=cos heta +isin heta]の高校生向けの解説本ですね. 文庫版で持っています. 

 電卓周りの記述は正直蛇足だなと思うし, 人類の至宝は$e^{i heta}=cos heta +isin heta$であって, $e^{ipi}=-1$はそこから自明に出てくる式なのでなんだかなぁという気もしますが, 入り口としては良いでしょう. 

 読んだことはないですが下の本も同著者では有名ですね. 分厚すぎて読む気が起こらなかったが......

虚数の情緒―中学生からの全方位独学法

【番外】

円周率1000000桁表

    「数表で読書感想文かけるか!!」と思うのですが, ここの出版社なぜかこの本で読書感想文を募集していたりします. 

15/05/27:円周率100万桁表読書感想文コンクールについて :暗黒通信団

 誰が募集するんだろうと思っていたら, 募集があったみたいで驚きです. 物好きだなぁ. 

 ここの出版する本で高校生でも読めそうな本が一冊だけあったのでそちらも紹介しておきましょう. これを読書感想文に使うのもありかも. 怪しい名前の団体から出ているけど, 内容に変なところはないです. あるとしても誤植くらいです. 

整数論のための前菜

 僕に思いつくのはこのぐらいです. 結構自分にとって懐かしい本が結構ありました. これ以外にも良い本はきっとありますから, 本屋に行って探すなりAmazonのサジェストに従うなりすると良いと思います. 

 それでは小中高生の皆さん, 宿題頑張ってください! おじさんも陰ながら応援しています. さよなら. さよなら. さよなら. 

*1:マンガなので今回は除外......

*2:小学生向けにしようか迷ったのですが, ここに挙げた本は小学生向けとは言い難いのでこれで......

今日もバカ噺を一つ

 仮面の日曜数学者です. 

 キチンとした記事を書こうとすると, やっぱり時間がかかるので今日もバカ噺を書こうかと思います*1.

 今, 白雪姫がケーキを統計を使って公平に分割する話がはやっているようなので, そういった噺を一つ. 

motcho.hateblo.jp

統計に詳しいという噂のJは絶対に飛行機に乗らないことを公言している. 

曰く「飛行機には爆弾がのせられている確率が高い」からだそうで. 

そんな彼を飛行場で見かけた. なんと飛行機の搭乗待ちらしい. 

なぜだろうと思って話を聞いてみると

「飛行機には爆弾が一個乗っている確率は高いが, 二個乗っている確率が低いことが分かった. 特に一個一個別々に飛行機に乗せられる確率はかなり低い. だから, すでに一個持ってきた」

*1:キチンとしたのも並行して書いていますが, 間違ったことを書きたくないので, 取材に時間がかかります......

数学小噺を一つ.

 仮面の数学者です. 前回の更新が2か月前なんて信じない......

 毎日のようにブログを更新できる人を僕は心の底から尊敬しています. 創作で最も難しいのは最後まで作品を完成させることだっていうけど, ブログも同じような気がします. 

つまり, 大事なのは根気......

 今日書こうと思い立ったのは「数学ジョーク」についてです. 

 数学やっている人は意外とジョークが好きです. 一番の好例は存在しない数学者をあたかも存在するかのように扱ったBourbakiの件でしょう. 彼らの場合フランス人なので「えすぷり」ってやつですかね.

 そんなわけかどうかはわかりませんが, 世の中には「数学」をテーマにしたジョークがたくさんあります. 今日はその中から有名なものを一つ. 

 イギリスのコンウォールの大草原の中を汽車が走っていく. その中で学会帰りの天文学者, 物理学者, 数学者, 生物学者が談笑していた. そんな4人の目の前の草原に黒い動物がいるのが見える. 天文学者が言う. 

「コンウォールのヤギは全身が黒いんだなぁ」

それを聞いた物理学者が笑いながら

「それは少し正確じゃない. コンウォールにいるヤギのうちの一匹の全身が黒いんだ」

それを聞いた数学者はボソッとつぶやいた. 

「それだから君らはよく間違いを犯すんだ. もっと正確にはコンウォールにいるヤギのうちの一匹は少なくともこちら側が黒いんだ」

それを聞いていた生物学者, 笑いをかみ殺しながらこういった. 

「君たち, あれは羊だ. 」

非参考文献

 個人的に落語が好きで昔, 天狗連っぽいことをやっていました. そんなときにこういった数学ジョークを使っていました. そんなわけで好きな落語の本をここに置いておきます. 

落語こてんパン (ちくま文庫)

同じということ―定義のはなし―

仮面の日曜数学者です. 

約一か月ぶりの更新です. 新しい年度が始まってバタバタしてました. 

 知り合いの中学生から聞いたのですが, 昨今の数学の先生の中には「数学の定義は一字一句全く同じでなければならない」と思い込んでいる人がいるそうです. 

 その子が出会った事案としては素数の定義についてテストで「1より大きい自然数の中で約数を1とそれ自身の他に持たないもの」と答えたところバツをもらったそうです. なぜかというと素数の定義は「1より大きい自然数の中で約数を1とそれ自身のみであるもの」と教えたからだそうです. とても悲しい事件です. 国語力の低下が叫ばれる理由もわかります. 

 まぁ, 学校の数学の先生が数学をわかっていらっしゃらないのはいつものことなので, そのことを批判する気はありません*1が, 今回は数学における「同じ」とは何かについて少し書いてみようと思います. 

 同じ対象だけれども違う定義があるものとして, 自然対数の底$e$が最初に思いつきます. もちろんここでいう「定義が違う」とは先の例の教師のような日本語レベルのゆれの問題ではありません. 

 私が知っているだけでも次の3つがあります. 

1. 次の等式を満たすような$e$を自然対数の底という.  \[\lim_{h \to 0} \frac{e^{1+h}-e^1}{h} =e. \]

2. 次の極限\[\lim_{n\to \infty}\left(1+\frac1n \right)^{n} \]の行き先を自然対数の底という. 

3. 次の級数\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\]の行き先を自然対数の底という. 

 これらの定義が「同じ」であるというのは「論理的に同値である」からです. すなわち,

定義1. $\Leftrightarrow$ 定義2. $\Leftrightarrow$ 定義3.

 が成り立ちます*2. 

 同様にして論理的に同値であれば同じものを「定義」できます. 素数も「自然数のうち約数を2つのみ持つもの」などと定義してもよいわけです. 

 そのように多くの定義を持つものは多くの場合「抽象的」なものであることが多いです. たとえば, 群, 位相空間, 連続写像etc. 

 なぜそのように定義が複数あるものがあるのか? おそらく「同じ構造」を持つことがわかっていれば, 数学的には同じ対象で, どの定義から話を始めるのが一番楽かということなのでしょう. 定義はもちろん大事ですが, それが表す対象がなんであるかということが最も大事だと思います. 

 そういった数学的対象がどこにいるのかという問題は難しいのでまたの機会に. 

そんなわけでGW楽しんでいきましょう. 

ところで, 自然数の定義に0は含むべき異論は認めない. 

*1:しする気も起きません. あきらめました.

*2: $\Leftrightarrow$は「左辺から右辺が証明できかつ右辺から左辺が証明できる」という意味だと思ってください.

ぎんがしんねん～銀英伝の話～

 親愛なる読者の皆さま, あけましておめでとうございます. 仮面の日曜数学者です(迷ったけどこれにした). 

 今年のお正月は様々あって, 姫路で過ごしたのですが, 旅は良いですねぇ. 久しぶりにゆっくりできました. 

 最近は初日の出をゲンの良いところで拝もうってんで, 年末年始にいろんなところに旅行する人が増えているそうで, 中には「宇宙で初日の出を見たい」という人もいるらしいです. 曰く「銀河の初日の出は, 縁起がいい. なんといっても銀河新年というくらいだから......」

 といううことでねぇ,  今日は数学の話ではなく, 銀河英雄伝説(略称:銀英伝)の話を書こうと思います. なぜ今そのテーマか? この前銀英伝オフ会が都内某所で開かれていたようですが, それに参加できなかった後悔というとてもとても個人的な都合です...... 

銀河英雄伝説 文庫 全10巻 完結セット (創元SF文庫)

 これですね. 本編全10巻+外伝5巻というそれなりにボリュームのある作品です. 20年程前の作品ですが, 最近ヤングジャンプで藤崎竜先生によるコミカライズされたりとか, 2017年にProduction I. Gによる再アニメ化(以前にもOVAとしてアニメ化済み. 本編全110話+外伝52話)が決まっていたりと, 盛り上がりを見せている作品です. 3年ほど前にSFの面白い作品が読みたいと思って読み始めた作品ですがはまってしまいました. 以前からのファンの皆様にはこう言われます. 

なぜ, 今, はまったのか? 

 なんでだろうね. ヤングジャンプでの連載が決まったとき, 古参ファンの皆さまと盛り上がっていたものな. 

 えー, ストーリーの紹介しておこうか. 

 舞台は遠い未来. 超光速走法(ワープ技術かもしれない)の発達で人類の生存圏は銀河全体に及んでいた. なんやかんや(ここのあらすじだけで30ページくらいあるというすばらしさ)あって, 人類は帝国主義の銀河帝国と民主主義の自由惑星同盟に分かれていつ終わるとも知れぬ闘いの日々に明け暮れていた. 

 長い戦いの中で, 双方とも政治の腐敗, 長年の戦争による人材不足などの弊害が訪れていた. 

 そんな中で, その時代を終わらせる2人の英雄が出現した. 1人は銀河帝国の若き上級大将「常勝の天才」「生意気な金髪の孺子(こぞう)」ラインハルト・ローエングラム, もう1人は自由惑星同盟の元歴史学者志望の軍人「不敗の魔術師」「ペテン師」ヤン・ウェンリー. 物語はこの二人の人物を中心に進んでいく. 

 他にも第三勢力として, 銀河帝国と自由銀河同盟の闘いから利益を吸い上げようというフェザーン自治区やその裏側に存在する×××の暗躍などいろいろな事件が起こっていく. 激動の時代を超えて, 人類はどこへ向かっていくのか......  

 大体こんな感じです.  

 この作品の面白さはストーリーはもちろんですが, セリフのカッコよさや各キャラクターの思想にあります. 特に自分はヤン・ウェンリーが大好きで, 彼が出てこない帝国側の話を読むときは少し(ゲフンゲフン

 ヤンは基本働きたくない人で, 「退役年金をもらう」ために軍人をしています. 元々は歴史学者志望の青年だったのですが, 経済的な事情で「タダで歴史を学べる学校」である同盟軍士官学校戦史研究家に入学をするのですが, なんやかんやあって, 最前線で戦うことに......

 基本働きたくないマンの彼ですが, 民主主義を守るために最後まで戦い続けます. 彼は民主主義が最良の政治と考えているのです.

最悪の民主政治は最良の独裁政治に勝る. 

とは彼の弁です. ただ, 行動の上では明らかに「民主主義を守るのため」というのが, 行動原理の一つとしてあるにもかかわらず, 彼の中には「民主主義を守るために戦うことが本当に人類のためになるのか」という葛藤と常に共にあります. この矛盾が彼のカッコよさの由縁です. わかりやすいヒーローより悩めるヒーローの方がカッコ良いよね(個人の好みです). 

 再アニメ化が決まっていると先ほど書きましたが, 最大の不安は彼の担当声優です. 最初のアニメ化の際は日本の声優会の至宝, 故富山敬さんが担当されていました. 彼が亡くなった後に制作された外伝では郷田ほづみさんが担当されていました.

 最良のヤン声優はもちろん富山さんですが, 個人的には郷田ヤンも好きなので, 郷田さんの続投を望んでいます. もしくは舞台版でヤンを演じられていた河村隆一さんでも良いですね(河村ヤンには富山敬が降りていたというのはファンの間では定評のある話). 他は.....誰が適当だろうか......

 飄々としていてつかみどころのない彼を表現するのは非常に難しいと思いますが, 担当の声優の方の演技を楽しみに待つことにします. 

ということで, まだまだ書きたい話もありますが, 疲れたので今日ここまでで......

 銀英伝ファンが増えるといいな. 

 あぁ, 一週間の休みを取って銀英伝最初から読み直したいんじゃぁ......

$2^{100}$を$7$で割った余りを多項式を計算する方法～tsujimotterさんのおはなしを受けて～

 あー, おなかいたい......

 みなさんこんばんは.

 ある日曜数学者です.  

 固有名詞化しつつある「ある日曜数学者」という単語ですが, 今度から「オペラ座の日曜数学怪人」と名乗ろうか「仮面の日曜数学者」と名乗ろうか迷っています. 

 先日から胃がきりきりする事態に襲われていて, 仕事をしているとき以外は寝ている生活をしていました. 最近, ストレスフルな生活が続いているせいでしょうか......

(しにそう

 さて, 今日のテーマは次の記事にインスパイアされたものです. 

tsujimotter.hatenablog.com

 tsujimotterさんは「$3^{100}$を$19$で割った余り」を求める4通りの方法を紹介されていました. 

すなわち

1. 直接計算してぶん殴る方法. 

2. 合同式を用いて, 周期性を見つける方法. 

3. フェルマーの小定理を用いる方法. 

4. 平方剰余の相互法則を用いる方法. 

の4つです. 

 さて, この記事を読んでいた私は, この問題を「多項式の割り算によって解けないだろうか? 」と思いつきました.  

 というのは下にあげるような類題を「多項式の割り算」を用いて解いたことがあるからです. 

 「$2^{100}$を$7$で割った余りはいくつか?」

 当然この問題も上の1～4のやり方でも解くことができますが, 次のように多項式の割り算によって解くこともできます. 

解法

 まず, 次の事実に注意する. 

\[x^{33}-1=\left(x-1\right)\left(x^{32}+x^{31}+\cdots +1\right)\]

 すなわち, 

\[x^{33}=\left(x-1\right)\left(x^{32}+x^{31}+\cdots +1\right)+1\]

 すると, $7=2^3-1$であるから, 

\begin{align*}\left(2^3\right)^{33}&=\left(2^3-1\right)Q\left(2^3\right)+1 \\2^{99}&=7\cdot Q\left(2^3\right)+1\end{align*}

ただし, \[Q\left(x\right)=x^{32}+x^{31}+\cdots +1\]である. 

よって, 

\[2^{100}=7\cdot 2Q\left(2^3\right)+2\]

であるから, 商と余りの一意性より$2^{100}$を$7$で割った余りは$2$である. 

 で, この解法を元の「$3^{100}$を$19$で割った余り」に応用することができるかなと思ったのですが......

 結論から申し上げると不可能なようです. 上の解法は割る数が$2^n-1$という形になっていたので, 上のようにできたのですが, 今回はそうなっていません. せいぜい$19=3^3-8$とできるくらいです. 

 この変形を使うと, 次のような事実がわかりますが, 正直そんなに簡単にならないです. 

 「$3^{99}$を$19$で割った余りと, $2^{99}$を$19$で割った余りは等しい. 」

証明のようなもの 

 次の事実に注意する.  \[a^n-b^n=\left(a-b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2}+b^n\right)\]

 すると, \[\left(3^3\right)^33-8^{33}=\left(3^3-8\right)Q\left(3^3, 8\right)\]

 ただし, \[Q\left(a, b\right)=a^{n-1}+a^{n-2}b + \cdots + ab^{n-2}+b^n\]である.

  よって, \[3^{99}=19Q\left(3^3, 8\right)+2^{99}\]

これは, $3^{99}$を$19$で割った余りと, $2^{99}$を$19$で割った余りは等しいことを示している.

 んー, あまり面白い発見ではありませんな......

 $2^9\equiv3^9\equiv -1\pmod{19}$に気が付けば, すぐにわかる事実ですしね. 

 そんなわけで, tsujimotterさんの問題に別解を与えることはできませんでしたが, 「ある種の余りを求める問題にはこんな解き方もあるのかぁ」という話でした. 

(泣きたくなってきた

#0は自然数

 えー, どうもこんばんは. ある日曜数学者です. 

 勢いで次のような企画に参加してしまいました. 

www.adventar.org

 主催の人とは全く知らない間柄でもないし, 簡単な文章で良いって書いてあるしなぁってんで, 勢いで参加ボタンを押しちまいました. いやぁ, 用事が長引いてこんな時間になっちった. 

(謎のテンション

 そんなわけで, この記事はそのイベント用の記事です. 他のイベント参加者の記事の内容と比べると急に軽い話題となりますが, 当日参加なので, 勘弁してください. 

 日曜数学者同士の茶飲み話のよくある話題として「0は自然数であるか否か」というものがあります. 

 高校数学の定義だと, 「自然数に0は含まない」となっていますが, 多くの数学書では「自然数に0を含む」となっています. これはどういうことでしょうか? 

  「自然数に0は含まない」派の人々の主張は大まかには「歴史的に『自然数』はモノを数えるために作られた*1のだから, 『何もない』という0は自然数に含むべきではない」というものです. 

「自然数に0は含む」派の人々は「そちらのほうが数学的に便利で, 自然だから(0がないと不便で気持ち悪い)」という主張をされている方が多いと思います. 

これは, 「空集合を使って0から自然数を構成する 」ことで, 「集合論の上で自然数論を展開できる」といったことや, 「0があると, 自然数はモノイドになる」ということなどがあるのでしょう. 私はこちらの派閥です. 

みなさんはどちら派でしょうか? 「こっちの派閥だけど, 違う理由だ」とか「ぶっちゃけどっちでも良い派」とかいろいろあるでしょうが, 茶飲み話の話題にでもなれば幸いです. 

 以上突貫工事の記事でした. 

 (ホントはこれらの派閥の比較検討をしたかったけれど, タイムオーバーなのでまたの機会に......

*1:実は 「歴史的に『自然数』はモノを数えるために作られた」という主張は半分正解で, 半分誤りです. 

 どうも近代以降ではそういった発想から「自然数」というものを使っていたようですが, 実は古代ギリシャでは「1」は「自然数」として扱われていなかったりします. 「1」はunit(単位)で「数」ではないということのようですね. 

 また, 「0」を考えることは「無限」を考えることにつながるので, そういった点でも「自然数」として扱うことは忌避されていたようです. 

 まぁ, でも「『自然数』はモノを数えるためのもの」ということから, 0をはじくのはわかる気もします.

「数学とは何を研究する学問なのか」という問いに対する私なりの答

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2015 - Adventarの4日目の記事です.

3日目:月の明るい部分の面積を求める:このブロマガの名前は？ - ブロマガ

こんにちは.

 最近,「数学」を趣味としている人が増えているそうです.
 数学は紙とペンさえあれば何とかなるみたいなイメージがあるらしく, お金のかからない趣味を持とうという人が足を踏み入れるのだそうです. どう考えてもミスチョイスのような気がするのですが, まぁわからないでもないです(ちなみに, 本気で数学に取り組むと結構お金と時間がかかります. 本を手に入れたり, それを読んだり, 読んだことを自分なりに解釈をしたり, 数学の話を聞きに行ったり, そこであった人と飲みに行ったり......etc. ).

そういった数学を趣味とする人々のコミュニティもたくさんあるようですが, その中に「日曜大工」とひっかけて「日曜数学会」と称する人々がいます.今日の記事はそんな「第2回日曜数学会」で話したおはなしです.
テーマは「数学の哲学」

「数学」と一口で言うが, そもそも「数学」とは何なのだろうか?

 手元の辞書(小学館, 精選版日本国語大辞典)によると

「主として, 数量および空間の性質について研究する学問。算術・代数学, 幾何学, 解析学、ならびにそれらの応用の総称」

などと書いてある.

 んー, よくわからん. 数学って確かに, そんなような学問のような気もするが......
でも, これだと数理論理学とか集合論が数学じゃなくなってしまうようにも読めるし,
数学使わない自然科学の分野の方が珍しいと思うので, 「すべての自然科学は数学である」みたいなことにもなるような気がしてしまう.

 もう少し質問をわかりやすくしてみよう。

 「数学は何を研究する学問なのか」

 ......かえって難しくなったような気もするナ.

 さて, この問いは実際に自分自身がぶち当たった疑問であるし, 数学をよく知らないという友人からぶつけられるものでもある.

 本来であれば, 先行研究として, プラトン主義やビッグスリー(形式主義, 直観主義, 論理主義), クワインなどの話をするべきであろうが, 私は一介のフリーターに過ぎないし, 哲学の専門家や「日曜哲学者」でもないのでやめておこう. つーか, そこまで丁寧に話すと文章の量がやばいことになるし......

 結論を申し上げると, 私は「数学とは何らかの意味で重要な『抽象的構造』を研究するための学問である」と考えている.

 たとえば, 高校数学でもおなじみの大事な数学的考察の対象として「アルキメデス性完備順序体」がある. 「なんじゃあ, そりゃあ」と思ってこのページを閉じそうになったそこのアナタ. 安心してほしい. あなたが高校の授業を真面目に聞いていたなら, この対象の別名を知っている.

 「アルキメデス性完備順序体」とは「実数」のことである. 「数直線上のすべての数」と思ってもよい.

 なんで, 最初から「実数」って言わないのかだって?
そりゃあ, そうした方が実数の「構造」ってやつを浮き彫りにして紹介できるからサ.

「アルキメデス性完備順序体」という言葉を分解してみると
「アルキメデス性」「完備」「順序」「体」
と分解できると思う(今この分解に突っ込みかけたそこの君. 正しい. だが, 議論を簡単にするためにわざとこう分けた).

 この名前は「実数」に「順序構造」「代数構造」などが含まれていることを示している.

 前半の二つは「極限についての構造」である. すなわち, 「非有界」であり
「コーシー列は必ず収束する」ということを示している.
もっとざっくり言ってしまうと, 「実数は無限に大きい数が存在し」「実数は連続である」という構造を持っている.

「順序」は言わずもがな「大小関係」のことである. これもひとつの「構造」である. 

 最後の「体」は「足し算・引き算・掛け算・割り算が自由にできる」という構造のことである. 

 実はこういった4種類の性質が同時に満たされ両立する対象が「同型を除いて一意に定まる」ことが知られている.
 「同型を除いて」というのは, 直感的には「モノの名前の付け方によらず元同士の関係性にだけ着目すると同じ構造を持っている」という意味である. つまり, 実数の数の名前の付け方はいろいろあってもいい――例えば, 普通は0とか1とかπとか名前がついている数字に対して, 代わりにZeroとかOneとかpiとかの文字列で表現するとか,
「セブンの息子」「サイタマ」「暗黒」などと呼称してもよい――が「実数」を特徴づける「構造」は一種類しかないということである.

 つまるところ「人々が漠然とイメージする実数とかいう数直線を区切るための数」みたいな認識に数学者はあまり興味はなくその「構造」にのみ着目し考えたいのである.

 さて, 実は世の中には似たような「構造」というものがあふれている.

 例えば, 「体」という構造が出てきたが, 「複素数」も「体」の一種である. しかし, 「実数」と「複素数」は違う対象であるのはすぐにお分かりいただけると思う.

 だが, 「体」として同じ構造を持っているがゆえに共通点も多い. たとえば, 多くの因数分解の公式が共通して扱えることが挙げられる.

 モノ同士の関係である「構造」を見ているがゆえに, 同じ構造を持っているものに対してはそのまま――個々のモノの性質が何であれ――同じ議論を適用できる. つまりある一つの構造を見ることはその「構造」を持つ無数の対象を見ることになるのである.

 さて, このような「数学は『構造』を探求している」とする立場を「構造主義」と言い,
こういった思想はフランスの数学者ニコラ・ブルバキに端を発する. 彼は「構造」を「位相構造」「代数構造」「順序構造」に分類しそれぞれの抽象的構造での議論を組み合わせて具体的なモノの性質を体系的にあぶりだすという体裁の『数学原論』を著した人物である.

 彼の発想は「圏論」のゆりかごにもなったのだが――圏論では「同型」という概念が非常に大事になるし, そもそも発想が構造主義をゴリゴリ推し進めたもののように見える――その『数学原論』のせいで「圏論」を生み出し取り入れることができなかったという悲劇も起きていたりする.

 何はともあれ, 「数学とは『構造』を探求する学問である」と考えることによって,
私は自分の足元がしっかりとした土台になったと感じ, 「数学」がより楽しくなったことを覚えている.

とはいえ, もっとより良い立場があるかもしれないので, 「こういう立場もあるよ」というものがあれば教えていただけると幸いである.

以上, ある日曜数学者の戯言でした.

参考文献

数学を哲学する

 今少しづつ読んでいる. 「数学の哲学」の入門書のようなもの. 

 ただ, この本を手に入れる前から「構造」を見ているという立場を知っていたような気がするのだが, どこで知ったのかは覚えていない. たぶん, K大のK先生に聞いたのだと思う. 

この記事は日曜数学 Advent Calendar 2015 - Adventarの4日目の記事です.

前:月の明るい部分の面積を求める:このブロマガの名前は？ - ブロマガ

 日曜数学っぽい誰でも気軽にチャレンジできそうな話題の記事でした. こういうのでいいんだよこういうので. 

次: @Hiroyuki Koike
掛け算を知らなくても、12×23が線引きと足し算だけで出来てしまう方法

アメリカ式の掛け算のひっ算のやり方の話ですかね? ワクワク. 

追記 2015.12.5

 タイトルに違和感を感じたため編集しました. 

 あと, 読み返していてすごくわかりづらいと感じたので気が向けば, この記事の内容をもう少し掘り下げた改良版を書くかもしれないです. 

はじめまして

 日曜数学者の筆者が, 思考の垂れ流し先を求めて開設しました。

 数学に限らずいろいろなことを書いていこうと思いますが, よろしくお願いします。

Hello World

Hello World!